ЕГЭ in Mathematica & Maple

МЕГЭБАНК

РЕШЕНИЯ

B12 :: 62 ПРОТОТИПА

	ДВИЖЕНИЕ
	РАССТОЯНИЕ
01	Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l = ( R·h / 500)^1/2 , где R = 6400 км — радиус Земли. На какой наименьшей высоте следует располагаться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии не менее 4 километров? Ответ выразите в метрах.	►
02	Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l = ( R·h / 500)^1/2, где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?	►
03	Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле l = ( R·h / 500)^1/2, где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?	►
04	Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землeй до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l = (2 R h)^1/2 , где R = 6400 (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.	►
	ВЫСОТА
05	Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h (t) = 1.6 + 8 t − 5 t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?	►
06	После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5 t² , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.	►
	ВРЕМЯ ДВИЖЕНИЯ
07	Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v₀ = 20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 5 м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v₀ t − 0.5 a t² (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.	►
08	Автомобиль, масса которого равна m = 2160 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь S = 500 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно F = 2 m S t⁻² . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.	►
09	Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀ = 57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 12 км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S = v₀ t + 0.5 a t². Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.	►
	СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ
10	Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч² , вычисляется по формуле v = (2 l a)^1/2 . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч².	►
11	Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч², вычисляется по формуле v² = 2la. Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч². Ответ выразите в км/ч.	►
12	При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону l = l₀·(1− v² · c⁻²)^1/2, где l₀ = 5 м - длина покоящейся ракеты, c = 3·10⁵ км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.	►
	ТРАЕКТОРИЯ
13	Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой y = a x² + b x, где a = −0.01 м^-1, b = 1 - постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?	►
	УГЛЫ И ДВИЖЕНИЕ
14	Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле t = 2 v₀ g⁻¹ sin α . При каком наименьшем значении угла α (в градусах) время полeта будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью v₀ = 30 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с².	►
15	Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой H = 0.25 v₀² g⁻¹ (1 − cos 2 α), где v₀ = 20 м/с - начальная скорость мячика, а g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). При каком наименьшем значении угла α (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?	►
16	Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле L = v₀² g⁻¹ sin 2 α (м), где v₀ = 20 м/с - начальная скорость мячика, а g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?	►
17	Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью v = 3 м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью u = m v cos α /(m + M) (м/с), где m = 80 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а M = 400 кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?	►
18	Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = m v² sin² α . Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?	►
19	Катер должен пересечь реку шириной L = 100 м и со скоростью течения u = 0.5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением t = L u⁻¹ ctg α , где α — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом α (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?	►
20	Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону φ = ω t + 0.5 β t² , где t - время в минутах, ω = 20°/мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а β = 4°/мин² - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 1200°. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.	►
	ВРАЩЕНИЕ
21	Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R = 10 см, и двух боковых с массами M = 1 кг и с радиусами R + h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг·см², даeтся формулой I = 0.5 (m + 2M) R² + M (2 R h + h²) . При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 кг·см² ? Ответ выразите в сантиметрах.	►
	КОЛЕБАНИЯ
22	Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v(t) = 0.5 sin π t , где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле E = 0.5 m v², где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5·10^-3 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.	►
23	Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v(t) = 0.5 cos π t , где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле E = 0.5 m v² , где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5·10^-3 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.	►
24	Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t) = 5 sin π t (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.	►
25	Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле A(ω)=A₀ω_р²/ \|ω_р² − ω²\| , где ω - частота вынуждающей силы (в c⁻¹ ), A₀ — постоянный параметр, ω_р = 360 c⁻¹ - резонансная частота. Найдите максимальную частоту ω, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A₀ не более чем на 12.5% . Ответ выразите в c⁻¹.	►
	ВОДА
	ВРАЩЕНИЕ ВЕДЕРКА
26	Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна P = m (v²/L − g) , где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведeрка в м/с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.	►
	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ БАК
27	В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H₀ − (2 g H₀)^1/2 k t + 0.5 g k² t², где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 20 м — начальная высота столба воды, k = 0.02 - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?	►
28	В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = a t² + b t + H₀ , где H₀ = 4 м -начальный уровень воды, a = 0.01 м/мин², и b = −0.4 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.	►
	АРХИМЕДОВА СИЛА
29	На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: F_A = ρ g l³, где l - длина ребра куба в метрах, ρ = 1000 кг/м³ - плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 9.8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах.	►
30	На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: F_A = α ρ g r³ , где α = 4.2 - постоянная, r - радиус аппарата в метрах, ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, а g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? Ответ выразите в метрах.	►
	ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
	НАИМЕНЬШЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
31	По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I = ε / (R + r) , где ε - ЭДС источника (в вольтах), r = 1 Ом — его внутреннее сопротивление, R - сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания I_кз = ε / r ? (Ответ выразите в омах.)	►
32	Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: I = U / R , где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.	►
33	В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R₁ = 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R₂ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R₁ Ом и ₂ Ом их общее сопротивление даeтся формулой R_общее = R₁R₂ / (R₁ + R₂) (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.	►
34	К источнику с ЭДС ε = 55 В и внутренним сопротивлением r = 0.5 Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой U = ε R / (R + r) . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в омах.	►
35	Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 2·10⁻⁶ Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением R = 5·10⁶ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀ = 16 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = α R C log₂(U₀/U) (с), где α = 0.7 - постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с?	►
	НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ УГЛА
36	Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом q = 2·10⁻⁶ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 1 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол α с направлением движения шарика. Значение индукции поля B = 4·10⁻³ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F_л = q v B sin α (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла α из отрезка [0°;180°] шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F_л была не менее чем 2·10⁻⁸ Н? Ответ дайте в градусах.	►
37	Плоский замкнутый контур площадью S = 0.5 м² находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой ε_i = a S cos α, где α - острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, a = 4·10⁻⁴ Тл/с - постоянная, S - площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м²). При каком минимальном угле α (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 10⁻⁴ В?	►
38	Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н·м) определяется формулой M = N I B l² sin α , где I = 2 A - сила тока в рамке, B = 3·10⁻³ Тл — значение индукции магнитного поля, l = 0.5 м - размер рамки, N = 1000 - число витков провода в рамке, α — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла α (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Н·м?	►
	ПРОЦЕССЫ
	ТЕМПЕРАТУРА
39	При температуре 0°C рельс имеет длину l₀ = 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l (t°) = l₀ (1+ α t°) , где α = 1.2·10⁻⁵ (0°C)⁻¹ - коэффициент теплового расширения, t° - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.	►
40	Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температур вычисляется по формуле T(t) = H₀ + b t + a t² , где t — время в минутах, T₀ = 1400 К, a = −10 К/мин², b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.	►
41	Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: P = σ S T⁴ , где σ = 5.7·10^-8 — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = 10²⁰/16 м², а излучаемая ею мощность P не менее 9.12·10²⁵ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.	►
42	Для обогрева помещения, температура в котором равна T_п= 20°С , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой T_в = 60°С . Расход проходящей через трубу воды m = 0.3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T (°С) , причeм x = α c m γ⁻¹ log₂((T_в − T_п)/(T − T_п)) (м), где c = 4200 Дж/(кг·°С) - теплоeмкость воды, γ = 21 Вт/(м·°С) - коэффициент теплообмена, а α = 0.7 - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?	►
	ГАЗ
43	При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k = const , где p - давление в газе в паскалях, V - объeм газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него k = 5/3 ) из начального состояния, в котором const = 10⁵ Па·м⁵, газ начинают сжимать. Какой наибольший объeм V может занимать газ при давлениях p не ниже 3.2·10⁶ Па? Ответ выразите в кубических метрах.	►
44	Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением pV^1.4 = const , где p (атм.) - давление в газе, V - объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.	►
45	В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m (t) = m₀·2^−t/T , где m₀ (мг) - начальная масса изотопа, t (мин.) - время, прошедшее от начального момента, T (мин.) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m₀ = 40 мг. Период его полураспада T = 10 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг?	►
46	Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде pV^a = const , где p (Па) — давление в газе, V - объeм газа в кубических метрах, a - положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?	►
	ДАВЛЕНИЕ
47	Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле P = 4 mg/(πD²) , где m = 1200 кг — общая масса навеса и колонны, D - диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g = 10 м/с², а π = 3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ выразите в метрах.	►
48	Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m = 1260 тонн представляют собой две пустотелые балки длиной l = 18 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой p = mg / (2 l s) , где m - масса экскаватора (в тоннах), l - длина балок в метрах, s - ширина балок в метрах, g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.	►
	ЗВУК
49	При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f₀ = 150 Гц и определяется следующим выражением: f = f₀ (c + u)/(c − v) (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 10 м/с и v = 15 м/с — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 160 Гц?	►
50	Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f₀ = 440 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f(v) = f₀ ·(1 − v/c)^-1 (Гц), где c — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 315 м/с. Ответ выразите в м/с.	►
51	Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле v = c (f − f₀)/(f + f₀) , где c = 1500 м/с — скорость звука в воде, f₀ — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражeнного от дна сигнала, регистрируемая приeмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 2 м/с.	►
	РАДИОСИГНАЛ
52	Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U₀ sin (ω t + φ), где t - время в секундах, амплитуда U₀ = 2 В, частота ω = 120°/с, фаза φ = −30° . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?	►
	СВЕТ
53	При нормальном падении света с длиной волны λ = 400 нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол φ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением d sin φ = k λ . Под каким минимальным углом φ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?	►
	ОПТИКА
54	Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана - в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение d₁^-1+ d₂^-1 = f^-1 . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.	►
	ВОДОЛАЗНЫЙ КОЛОКОЛ
55	Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени ν = 3 моля воздуха объeмом V₁= 8 л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма V₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = α ν T log₂(V₁/V₂) (Дж), где α = 5.75 постоянная, а T = 300 К — температура воздуха. Какой объeм V₂ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?	►
56	Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий ν = 2 моля воздуха при давлении p₁ = 1.5 атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = α ν T log₂(p₂ / p₁) (Дж), где α = 5.75 - постоянная, T = 300 К — температура воздуха, p₁ (атм) — начальное давление, а p₂ (атм) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления p₂ можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах.	►
	ТРАКТОР
57	Трактор тащит сани с силой F = 80 кН, направленной под острым углом α к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S = 50 м вычисляется по формуле A = F S cos α . При каком максимальном угле α (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?	►
58	Трактор тащит сани с силой F = 50 кН, направленной под острым углом α к горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости v = 3 м/с равна N = Fv cos α . При каком максимальном угле α (в градусах) эта мощность будет не менее 75 кВт?	►
	КПД
59	Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η = (T₁ − T₂)/T₁ ·100% , где T₁ - температура нагревателя (в градусах Кельвина), T₂ - температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T₁ КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника T₂ = 340 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.	►
60	Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой m_в (в килограммах) от температуры t₁ до температуры t₂ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы m_др кг. Он определяется формулой η = c_в m_в (t₂ − t₁)/ q_дрm_др ·100% , где c_в = 4.2·10³ Дж/(кг·К) — теплоёмкость воды, q_др = 8.3·10⁶ Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m = 83 кг воды от 10°C до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.	►
	ПРИБЫЛЬ И ЦЕНА
61	Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 500 руб., постоянные расходы предприятия f = 700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q ( p − v ) − f . Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.	►
62	Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой q = 100 − 10 p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q · p . Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.	►

B14

B13

B12

B11

B10