ЗНО 2012 Внешнее независимое оценивание

ПРОБНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКЕ 31.03.2012 

ЧАСТЬ 1 

01 `*`(`^`(.3, 2), `*`(`^`(10, 4))) 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

600 

900 

6000 

9000 

`^`(3, 6) 

Решение 

Используем основные свойства степени: 

`and`(`*`(`^`(.3, 2), `*`(`^`(10, 4))) = `*`(`^`(`/`(3, 10), 2), `*`(`^`(10, 4))), `and`(`*`(`^`(`/`(3, 10), 2), `*`(`^`(10, 4))) = `/`(`*`(`^`(3, 2), `*`(`^`(10, 4))), `*`(`^`(10, 2))), `and`(`/`(`*`... 

Проверка 

`*`(`^`(`/`(3, 10), 2), `*`(`^`(10, 4))) = 900 

Ответ 

Б 

02 Укажите размах ряда данных 3, 5, 5, 13, 18, 15, 12. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

18 

15 

12 

9 

3 

Решение 

Размах вычисляется как разность максимального и минимального значений ряда 

`and`(d = `+`(a[max], `-`(a[min])), `and`(`+`(a[max], `-`(a[min])) = `+`(18, -2), `+`(18, -2) = 15)) 

Ответ 

Б 

03 Три прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке (см. рисунок). Определите градусную меру угла α.
#3;K 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

101° 

99° 

81° 

79° 

69° 

Решение 

8AC=>: 

Воспользуемся понятиями вертикального, развернутого и смежных углов: 

 

Ответ 

Г 

04 Найдите область определения функции y = `/`(`*`(x), `*`(`+`(x, `-`(1)))) 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

 

 

 

Решение 

Дробно-линейная функция имеет бесконечный разрыв в точке, являющейся корнем знаменателя. 

 

Проверка 

8?51>;0 

Ответ 

В 

05 В прямоугольной системе координат в пространстве найдите расстояние от точки М(0; 8; 6) до оси Оу. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

6 

7 

8 

10 

14 

Решение 

0@0;;5;5?8?54 

Точка M находится в плоскости zy, поэтому расстояние от неё до оси ординат совпадает с модулем z-координаты точки: 

`and`(d = abs(z[m]), `and`(abs(z[m]) = abs(6), abs(6) = 6)) 

Ответ 

А 

06 Решите уравнение  `*`(.5, `+`(`*`(3, `*`(x)), `-`(4))) = `*`(`+`(x, 1), `/`(1, 4)) 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`/`(5, 7) 

-`/`(7, 5) 

`/`(6, 5) 

`/`(9, 5) 

6 

Решение 

Упростим линейное уравнение, избавившись от дробей умножением на их наименьший общий знаменатель (4): 

 

 

 

 

 

`and`(x = `/`(9, 5), `/`(9, 5) = 1.8) 

Проверка 

`*`(`/`(1, 2), `+`(`*`(3, `*`(x)), `-`(4))) = `*`(`+`(x, 1), `/`(1, 4)){x = `/`(9, 5)} 

Ответ 

Г 

07 Какие утверждения являются правильными?
 I  Противоположные углы ромба равны.
II Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
III В любой ромб можно вписать окружность. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

только I и II 

только I и III 

только II и III 

только II 

I, II и III 

Решение 

><1 

Все утверждения I, II, III относятся к основным свойствам ромба. 

Ответ 

Д 

08 Станок с автоматическим управлением работает с постоянной производительностью и изготавливает 40 деталей за t ч ( t > 0). Укажите выражение для определения количества деталей, которые изготовил станок за 5 ч. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(`/`(1, 8), `*`(t))) 

`+`(`/`(`*`(40), `*`(`+`(t, `-`(5))))) 

`+`(`/`(`*`(8), `*`(t))) 

`+`(`*`(8, `*`(t))) 

`+`(`/`(`*`(200), `*`(t))) 

Решение 

Производительность станка:  p = `+`(`/`(`*`(40), `*`(t))) деталей в час.  Количество изготовленных деталей за t часов: 

N = `*`(p, `*`(t)) 

`and`(N = `*`(`+`(`/`(`*`(40), `*`(t))), 5), `*`(`+`(`/`(`*`(40), `*`(t))), 5) = `*`(200, `/`(1, 5))) 

Замечание 

Считаю оригинальное условие t > 5 некорректным. 

Ответ 

Д 

09 На рисунке изображен квадрат ABCD. Укажите правильное векторное равенство.
ЗНО 2012 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`#mover(mi(

`#mover(mi(

`#mover(mi(

`#mover(mi(

Решение 

Ответ следует непосредственно из "правила параллелограмма" для сложения свободных векторов: 

`#mover(mi( 

Ответ 

В 

10 На бумаге в клетку изображен треугольник ABC (см. рисунок). Считайте, что каждая клетка - квадрат, сторона которого равна 1 см. Найдите площадь треугольника ABC.
ЗНО 2012

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(6, `*`(`^`(A<, 2)))) 

`+`(`*`(6.5, `*`(`^`(A<, 2)))) 

`+`(`*`(7, `*`(`^`(A<, 2)))) 

`+`(`*`(7.5, `*`(`^`(A<, 2)))) 

`+`(`*`(8, `*`(`^`(A<, 2)))) 

Решение 

ЗНО 2012

Величины высоты BD и основания AC можно определить точно.  

Расчетной формулой примем следующую: 

`and`(S[ABC] = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(a, `*`(h)))), `and`(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(a, `*`(h)))) = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(AC, `*`(BD)))), `and`(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(AC, `*`(BD)))) = `*`(`/`(5, 2), 3), ... 

Ответ 

Г 

11 Сколько всего решений имеет система уравнений ? 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

ни одного 

один 

два 

три 

больше трех 

Решение 

 

Проверка 

!8AB5<0 

Интересуют координаты общих точек окружности `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(y, 2))) = 3 и равнобокой гиперболы `+`(`-`(`*`(`/`(1, 5), `*`(`^`(x, 2)))), `*`(`/`(1, 5), `*`(`^`(y, 2)))) = 1.
Легко убедиться, что линии таких точек не имеют. 

Ответ 

А 

12 Из некоторого аэропорта по расписанию авиарейсы выполняются через каждые 10 мин. Первый самолет по расписанию вылетает в шесть часов утра. Укажите время вылета по расписанию тридцатого по счету самолета. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

10 ч 40 мин 

10 ч 50 мин 

11 ч 00 мин 

11 ч 30 мин 

12 ч 00 мин 

Решение 

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии. 

`and`(a[30] = `+`(a[1], `*`(d, `*`(`+`(30, -1)))), `and`(`+`(a[1], `*`(d, `*`(`+`(30, -1)))) = `+`(6, `*`(29, `*`(`*`(10, `/`(1, 60))))), `and`(`+`(6, `*`(29, `*`(`*`(10, `/`(1, 60))))) = `+`(6, `/`(2... 

Т.е. 10 час 50 минут 

Ответ 

Б 

13 Вычислите . 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`/`(1, 2) 

`/`(4, 3) 

1 

8 

12 

Решение 

Используем основные свойства логарифма: 

 

Проверка 

log[8](16) = `/`(4, 3) 

Ответ 

Б 

14 Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а объем - 64 куб.см. Найдите высоту пирамиды (в см). 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`/`(4, 3) 

4 

8 

12 

16 

Решение 

4-8@0<840

В основании правильной 4-пирамиды - квадрат, а вершина проектируется в центр вписанной (описанной) окружности - точку пересечения диагоналей квадрата. 

Пусть `and`(AB = BC, `and`(BC = CD, `and`(CD = AD, AD = a))); 1; `⊥`(SO, ABC); 1; SO = h - высота пирамиды. 

Формула объёма пирамиды: 

 

`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(4, 2), `*`(h)))) = 64 

`and`(h = `+`(`*`(`/`(1, 16), `*`(`*`(64, 3)))), `+`(`*`(`/`(1, 16), `*`(`*`(64, 3)))) = 12) 

Проверка 

`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(4, 2), `*`(h)))) = 64{h = 12} 

Ответ 

Г 

15 Какое из приведенных уравнений имеет бесконечное количество корней? 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`*`(cos, `*`(x)) = Pi 

x = `+`(`-`(x)) 

abs(x) = x 

abs(`+`(`-`(x))) = 2 

abs(x) = -3 

Решение 

А 

iff(`*`(cos, `*`(x)) = Pi, `in`(x, {})) , что следует из определения косинуса  `>`(Pi, factorial(1)) 

Б 

iff(iff(x = `+`(`-`(x)), `+`(`*`(2, `*`(x))) = 0), x = 0) 

В 

, что следует из определения абсолютной величины числа 

Г 

iff(iff(abs(`+`(`-`(x))) = 2, abs(x) = 2), x = `&+-`(2)), что следует из определения абсолютной величины числа 

Д 

iff(abs(x) = -3, `in`(x, {})), что следует из определения абсолютной величины числа 

Ответ 

В 

16 Цилиндр, радиус основания которого равен 4 см, высота - 12 см, пересекли плоскостью, параллельной его основанию (см. рисунок). Образовалось два цилиндра (см. рисунок). Определите сумму полных поверхностей образовавшихся цилиндров. (в кв.см).
&8;8=4@ 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

96 π 

108 π 

128 π 

144 π 

160 π 

Решение 

Искомая площадь - сумма полных поверхностей первого и второго цилиндров - S[1] и S[2] соответственно. 

Пусть h[1] и h[2] - высоты образовавшихся цилиндров. В сумме они составляют высоту h исходного цилиндра, в то время как у всех этих тел радиус основания r одинаков. 

Преобразуем формулы площади: 

`and`(S = `+`(S[1], S[2]), `+`(S[1], S[2]) = `+`(`+`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(r, `*`(h[1])))), `*`(2, `*`(Pi, `*`(`^`(r, 2))))), `+`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(r, `*`(h[2])))), `*`(2, `*`(Pi, `*`(`^`(r, 2))))))) 

S = `+`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(r, `*`(`+`(`+`(h[1], r, h[2]), r)))))) 

S = `+`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(r, `*`(`+`(h, `*`(2, `*`(r)))))))) 

`and`(S = `*`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(Pi))), 4), `*`(`+`(12, 8))), `*`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(Pi))), 4), `*`(`+`(12, 8))) = `+`(`*`(160, `*`(Pi)))) 

Ответ 

Д 

17 Упростите выражение `/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(sqrt(2))), 1)), `*`(`+`(sqrt(2), 1))) 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

2 

`+`(sqrt(2), 1) 

`+`(3, sqrt(2)) 

`+`(3, `*`(2, `*`(sqrt(2)))) 

`+`(3, `-`(sqrt(2))) 

Решение 

Избавимся от иррациональности в знаменателе.

Для этого и числитель, и знаменатель дроби умножим на `+`(sqrt(2), `-`(1)) : 

 

 

(В знаменателе применили формулу разности квадратов) 

Проверка 

`/`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(sqrt(2))), 1)), `*`(`+`(sqrt(2), 1)))`*`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))), 1), `*`(`+`(`*`(`^`(2, `/`(1, 2))), `-`(1))))`+`(3, `-`(`*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))

Д 

18 На рисунке изображен эскиз эмблемы фирмы N. Эмблема имеет форму окружности, внутри которой размещены 3 одинаковые полуокружности. Один конец каждой полуокружности совпадает с центром окружности, другой конец лежит на окружности. Изготовление эмблемы (всех ее элементов), радиус которой равен 2 м, предполагает использование гибкого материала стоимостью 100 грн за 1м длины. Укажите среди приведенных наименьшую сумму денег, которой хватит на  приобретение этого материала для изготовления эмблемы. Считайте, что места соединения элементов эмблемы, обозначенные на рисунке точками, не требуют дополнительных затрат.
:@C6=>AB8 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

3000 грн 

2720 грн 

2540 грн 

2310 грн 

2170 грн 

Решение 

:@C6=>AB8 

Пусть R = 2 - радиус большой окружности. Радиусы полуокружностей r будут вдвое меньшими, что следует из рисунка.
Необходимая длина гибкого шнура:  

`and`(L = `+`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(R))), `*`(3, `*`(Pi, `*`(r)))), `and`(`+`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(R))), `*`(3, `*`(Pi, `*`(r)))) = `+`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(R))), `*`(`+`(`*`(3, `*`(Pi))), `+`(`*`(`/`(1, 2),... 

Пусть n - стоимость 1 м материала. Расчётная формула: 

`and`(S = `*`(`*`(`+`(`*`(7, `*`(Pi, `*`(R)))), `/`(1, 2)), `*`(n)), `and`(`*`(`*`(`+`(`*`(7, `*`(Pi, `*`(R)))), `/`(1, 2)), `*`(n)) = `*`(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`*`(`+`(`*`(7, `*`(Pi))), 2)))), 100),... 

Pi3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

Нам достаточно помнить, что  

`and`(`<`(2170, `+`(`*`(700, `*`(Pi)))), `<`(`+`(`*`(700, `*`(Pi))), 2310)) 

`+`(`*`(700, `*`(Pi)))2199.1 

Ответ 

Г 

19 Какая из приведенных функций является первообразной для функции   ?  

А 

Б 

В 

Г 

Д 

Решение 

 

Второй интеграл найдём методом подстановки: 

 

 

 

Проверка 

int(`+`(2, sin(`+`(`*`(2, `*`(x))))), x) = `+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(cos(`+`(`*`(2, `*`(x)))))))) 

Ответ 

А 

20 На одном из рисунков изображен график функции y = sqrt(`+`(`-`(x))). Укажите этот рисунок. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

Image 

Image 

Image 

Image 

Image 

Решение 

>;C?0@01>;K 

А 

График функции y = sqrt(`+`(`-`(x)))  получен из полупараболы y = sqrt(x) симметрией относительно оси Oy  

Б 

Предложенный луч (без своего начала) можно получить как график функции y = `+`(`-`(`*`(sqrt(`+`(`-`(x))), `/`(1, `*`(sqrt(`+`(`-`(x))))))))  

В 

График полупараболы y = sqrt(x) 

Г 

График функции y = `+`(`-`(sqrt(x)))  получен из полупараболы y = sqrt(x) симметрией относительно оси Ox  

Д 

Левая часть параболы y = `*`(`^`(x, 2))  

Ответ 

А 

ЧАСТЬ 2 

21 Для каждого выражения (1-4) определите тождественно ему равное (А-Д). 

 

Выражение 

 

Выражение 

1 

`+`(1, `-`(`*`(`^`(cos, 2), `*`(alpha)))) 

А 

`*`(`^`(cos, 2), `*`(alpha)) 

2 

`*`(`+`(`*`(2, `*`(sin, `*`(alpha, `*`(cos))))), alpha) 

Б 

 

3 

`+`(`*`(`^`(cos, 2), `*`(alpha)), `-`(`*`(`^`(sin, 2), `*`(alpha)))) 

В 

 

4 

`*`(`+`(1, `-`(`*`(sin, `*`(alpha)))), `*`(`+`(1, `*`(sin, `*`(alpha))))) 

Г 

 

 

 

Д 

`*`(`^`(sin, 2), `*`(alpha)) 

Решение 

Используем основное тригонометрическое тождество и формулы двойного угла. 

1 

`+`(1, `-`(`*`(`^`(cos, 2), `*`(alpha)))) = `*`(`^`(sin, 2), `*`(alpha)) 

2 

 

3 

 

4 

`and`(`*`(`+`(1, `-`(`*`(sin, `*`(alpha)))), `*`(`+`(1, `*`(sin, `*`(alpha))))) = `+`(1, `-`(`*`(`^`(sin, 2), `*`(alpha)))), `+`(1, `-`(`*`(`^`(sin, 2), `*`(alpha)))) = `*`(`^`(cos, 2), `*`(alpha))) 

Ответ 

 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

1 

 

 

 

 

× 

2 

 

 

× 

 

 

3 

 

× 

 

 

 

4 

× 

 

 

 

 

22 `*`(ABCD, `*`(A[1], `*`(B[1], `*`(C[1], `*`(D[1]))))) - прямоугольный параллелепипед. Каждой плоскости (1-4) , выделенной цветом, поставьте в соответствие параллельную ей прямую (А-Д). 

 

Плоскость 

 

Прямая 

1 

Image`*`(AB[1], `*`(C[1])) 

А 

BC 

2 

Image`*`(DD[1], `*`(C[1])) 

Б 

`*`(A[1], `*`(D)) 

3 

Image`*`(AA[1], `*`(C[1])) 

В 

`*`(A[1], `*`(B)) 

4 

Image`*`(AB[1], `*`(D[1])) 

Г 

BD 

 

 

Д 

DD[1] 

Решение 

0@0;;5;5?8?54 

Ключ к решению - признак параллельности прямой и плоскости: Прямая a параллельна плоскости β, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. 

 

Плоскость 

 

Прямая 

1 

Image`*`(AB[1], `*`(C[1])) 

А 

BC, т.к. BC || AD , а `in`(AD, `*`(AB[1], `*`(C[1]))) 

2 

Image`*`(DD[1], `*`(C[1])) 

Б 

`*`(A[1], `*`(B)), т.к. `*`(A[1], `*`(B || (D[1]), `*`(C))) , а `in`(`*`(D[1], `*`(C)), `*`(DD[1], `*`(C[1]))) 

3 

Image`*`(AA[1], `*`(C[1])) 

В 

DD[1], т.к. DD[1] || (AA[1]) , а `in`(AA[1], `*`(AA[1], `*`(C[1]))) 

4 

Image`*`(AB[1], `*`(D[1])) 

Г 

BD, т.к. `*`(BD || (B[1]), `*`(D[1])) , а `in`(`*`(B[1], `*`(D[1])), `*`(AB[1], `*`(D[1]))) 

Ответ 

 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

1 

× 

 

 

 

 

2 

 

 

× 

 

 

3 

 

 

 

 

× 

4 

 

 

 

× 

 

23 Решите неравенства (1-4) . Каждому неравенству поставьте в соответствие множество всех его решений (А-Д). 

 

Неравенство 

 

Множество всех решений неравенства 

1 

`>`(`^`(5, `+`(x, `-`(2))), 1) 

А 

 

2 

`>`(`+`(`-`(`/`(`*`(2), `*`(`+`(x, 2))))), 0) 

Б 

 

3 

 

В 

 

4 

`<`(`*`(`^`(x, 2)), 4) 

Г 

 

 

 

Д 

 

Решение 

Решим элементарные неравенства 

1 

iff(iff(iff(`>`(`^`(5, `+`(x, `-`(2))), 1), `>`(`^`(5, `+`(x, `-`(2))), `^`(5, 0))), `>`(`+`(x, `-`(2)), 0)), `>`(x, 2))
iff(iff(iff(`>`(`^`(5, `+`(x, `-`(2))), 1), `>`(`^`(5, `+`(x, `-`(2))), `^`(5, 0))), `>`(`+`(x, `-`(2)), 0)), `>`(x, 2)) 

Показательное 

2 

iff(iff(`>`(`+`(`-`(`/`(`*`(2), `*`(`+`(x, 2))))), 0), `<`(`/`(1, `*`(`+`(x, 2))), 0)), `<`(x, -2))
iff(iff(`>`(`+`(`-`(`/`(`*`(2), `*`(`+`(x, 2))))), 0), `<`(`/`(1, `*`(`+`(x, 2))), 0)), `<`(x, -2)) 

Дробно-линейное 

3 


 

Логарифмическое 

4 

iff(iff(`<`(`*`(`^`(x, 2)), 4), `<`(abs(x), 2)), `and`(`<`(-2, x), `<`(x, 2))) 

Квадратное 

Ответ 

 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

1 

 

 

 

 

× 

2 

 

 

 

× 

 

3 

 

 

× 

 

 

4 

 

× 

 

 

 

24 На каждом из рисунков (1-4) изображена некоторая прямая. Каждой прямой поставьте в соответствие функцию (А-Д), график которой не имеет с этой прямой ни одной общей точки. 

 

График функции 

 

Функция 

1 

Image 

А 

y = x 

2 

Image 

Б 

 

3 

Image 

В 

y = `*`(`^`(`+`(x, `-`(2)), 2)) 

4 

Image 

Г 

y = `+`(1, `/`(1, `*`(x))) 

 

 

Д 

y = `*`(`^`(x, 3)) 

Решение 

@0D8:8 DC=:F89

Опираемся на знание графиков элементарных функций: линейной, квадратичной, кубической, дробно-линейной и логарифмической. 

1 

Image `and`(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(y)))) = 1 implies y = `+`(x, `-`(2)), y = `+`(x, `-`(2)) implies `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(y)))) = 1)  

2 

Imageiff(`+`(`-`(x), `*`(`/`(1, 2), `*`(y))) = 1, y = `+`(`*`(2, `*`(x)), 2)) 

3 

Image 

4 

Image 

Ответ 

 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

1 

× 

 

 

 

 

2 

 

× 

 

 

 

3 

 

 

 

× 

 

4 

 

 

× 

 

 

ЧАСТЬ 3 

25 Упростите выражение `+`(`*`(2, `+`(`*`(`^`(a, 2)), `-`(`*`(5, `*`(a, `*`(b)))), `*`(4, `*`(`^`(b, 2))))), `-`(`*`(3, `+`(`*`(2, `*`(`^`(a, 2))), `-`(`*`(2, `*`(a, `*`(b)))), `*`(3, `*`(`^`(b, 2))))))) и вычислите его значение, если a = 1.1, b = .8. 

Решение 

Раскроем скобки: 

z(a, b) = `+`(`*`(2, `+`(`*`(`^`(a, 2)), `-`(`*`(5, `*`(a, `*`(b)))), `*`(4, `*`(`^`(b, 2))))), `-`(`*`(3, `+`(`*`(2, `*`(`^`(a, 2))), `-`(`*`(2, `*`(a, `*`(b)))), `*`(3, `*`(`^`(b, 2))))))) 

z = `+`(`+`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(a, 2))), `-`(`*`(10, `*`(a, `*`(b)))), `*`(8, `*`(`^`(b, 2)))), `+`(`-`(`*`(6, `*`(`^`(a, 2)))))), `*`(6, `*`(a, `*`(b))), `-`(`*`(9, `*`(`^`(b, 2))))) 

z = `+`(`*`(`+`(2, -6), `*`(`^`(a, 2))), `*`(`+`(6, -10), `*`(a, `*`(b))), `*`(`+`(8, -9), `*`(`^`(b, 2)))) 

z = `+`(`-`(`*`(4, `*`(`^`(a, 2)))), `-`(`*`(4, `*`(a, `*`(b)))), `-`(`*`(`^`(b, 2)))) 

Выделим полный квадрат двучлена: 

z = `+`(`-`(`*`(4, `*`(`^`(a, 2)))), `-`(`*`(4, `*`(a, `*`(b)))), `-`(`*`(`^`(b, 2)))) 

z(a, b) = `+`(`-`(`*`(`^`(`+`(b, `*`(2, `*`(a))), 2)))) 

Выполним подстановку: 

`and`(z(1.1, .8) = `+`(`-`(`*`(`^`(`+`(.8, 2.2), 2)))), `and`(`+`(`-`(`*`(`^`(`+`(.8, 2.2), 2)))) = `+`(`-`(`^`(3, 2))), `+`(`-`(`^`(3, 2))) = -9)) 

Проверка 

a := `/`(11, 10); -1; b := `*`(8, `/`(1, 10)); -1; f := proc (a, b) options operator, arrow; `+`(`-`(`*`(4, `*`(`^`(a, 2)))), `-`(`*`(4, `*`(a, `*`(b)))), `-`(`*`(`^`(b, 2)))) end proc; -1; f(a, b)-9

Ответ 

-9 

26  Решите уравнение `*`(sqrt(`+`(x, `-`(2))), `*`(sqrt(`+`(`*`(2, `*`(x)), 1)))) = sqrt(3). Если уравнение имеет единственный корень, то запишите его в ответ. Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответе укажите произведение всех корней. Если уравнение не имеет корней, то в ответе запищите число 100. 

Решение 

 

Учтём области определения функций: 

 

 

x = `/`(5, 2) 

Проверка 

`*`(sqrt(`+`(x, `-`(2))), `*`(sqrt(`+`(`*`(2, `*`(x)), 1)))) = sqrt(3){x = `/`(5, 2)} 

Ответ 

2.5 

27 Найдите наибольшее значение функции y = `+`(`*`(12, `*`(x)), `-`(`*`(`^`(x, 3)))) на отрезке [0; 3]. 

Решение 

`and`(diff(y(x), x) = `+`(12, `-`(`*`(3, `*`(`^`(x, 2))))), `and`(`+`(12, `-`(`*`(3, `*`(`^`(x, 2))))) = `+`(`-`(`*`(3, `+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(4))))), `+`(`-`(`*`(3, `+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(4))))) = ... 

Указанному отрезку принадлежит только одна критическая точка: x = 2, являющаяся корнем уравнения diff(y(x), x) = 0 . 

Выберем наибольшее значение из трёх возможных: 

`and`(y(2) = `+`(24, -8), `and`(`+`(24, -8) = 16, 16 = y[=081>;LH55])) 

y(0) = 0 

`and`(y(3) = `+`(36, -27), `+`(36, -27) = -9) 

Проверка 

Эскиз графика функции: 

081>;LH55 

Ответ 

16 

28 Сколько всего существует разных двухзначных чисел, первая цифра которых является четной, а вторая - нечетной?  

Решение 

Пересчитаем, опираясь на здравый смысл: 

`/`(21, 29) implies 5 

`/`(41, 49) implies 5 

`/`(61, 69) implies 5 

`/`(81, 89) implies 5 

Ответ 

20 

29 На рисунке изображена траектория движения автомобиля из пункта А в пункт B, которая состоит из трех прямолинейных участков АK, KM и MB. Определите расстояние d между пунктами А и B, если АK = 60 км, KM =120 км, MB = 100 км (считайте, что изображенные на рисунке отрезки лежат в одной плоскости).
CBL 

Решение 

CBL 

Проведём `⊥`(BD, AK) и соединим точки A и D. Становится очевидным, что интересует длина d гипотенузы прямоугольного треугольника ABD: 

`and`(d = sqrt(`+`(`*`(`^`(AD, 2)), `*`(`^`(BD, 2)))), sqrt(`+`(`*`(`^`(AD, 2)), `*`(`^`(BD, 2)))) = sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(AK, MB), 2)), `*`(`^`(KM, 2))))) 

d = sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(60, 100), 2)), `^`(120, 2))) 

d = `+`(`*`(20, `*`(sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(3, 5), 2)), `^`(6, 2)))))) 

`and`(d = `+`(`*`(20, `*`(sqrt(`+`(64, 36))))), `+`(`*`(20, `*`(sqrt(`+`(64, 36))))) = 200) 

Ответ 

200 

30 В течении одного дня гражданин заключил с двумя банками кредитные соглашения на один год: с первым банком под 12% годовых, со вторым - под 15% годовых. Общая сумма денег, полученных по кредитным соглашениям, составляет 5000 грн. Погашение кредитов осуществляется одноразовым платежем в последний день действия соглашений. Начисленная сумма процентов за пользование кредитами составляет 654 грн. Сколько денег (в грн) взял гражданин под большие проценты? 

Решение 

Пусть x грн гражданин занял под невысокие проценты, а y грн - под высокие. 

 

 

 

 

 

 

Ответ 

1800 

31 Вокруг правильной треугольной призмы описана сфера, радиус которой 6 см. Радиус шара, проведенный к вершине призмы, образует с боковым ребром угол 30°. Определите объем призмы (в куб.см). 

Решение 

@87<0

У правильной треугольной призмы `*`(ABCA[1], `*`(B[1], `*`(C[1]))) в основании лежит равносторонний треугольник , а боковые ребра перпендикулярны основанию и равны по величине высоте призмы h, соединяющей центры тяжести  треугольников ABC и `*`(A[1], `*`(B[1], `*`(C[1]))) - точки E и E[1]. 

Центр описанной сферы - точка O, - делит высоту призмы EE[1] пополам.  

AO = R - радиус этой сферы. 

 

Прямоугольный треугольник `ΔAOE`; -1 

`implies`(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(h))) = `*`(R, `*`(cos, `*`(alpha))), h = `+`(`*`(2, `*`(R, `*`(cos, `*`(alpha)))))) 

Равносторонний треугольник `ΔABC`; -1 

 

Объём призмы: 

 

V = `*`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(`*`(R, `*`(sqrt(3), `*`(sin, `*`(alpha)))), 2), `*`(R, `*`(cos, `*`(alpha, `*`(sqrt(3)))))))), `/`(1, 4)) 

V = `*`(`*`(`*`(`+`(`*`(3, `*`(sqrt(3)))), `/`(1, 2)), `*`(`^`(R, 3), `*`(`^`(sin, 2), `*`(alpha, `*`(cos))))), alpha) 

V = `*`(`+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`*`(`+`(`*`(3, `*`(sqrt(3)))), `/`(1, 2)), `*`(`^`(6, 3))))), `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(sqrt(3))))) = V = `/`(243, 2) 

Ответ 

121.5 

32 Найдите все значения параметра а,  при которых произведение корней уравнения  `+`(`*`(`^`(log[2], 2), `*`(x)), `-`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(a, 2))), `-`(a)), `*`(log[2], `*`(x)))), 1, `-`(`*`(2, `*`(a)))) = 0 равно 8. Если такое значение а единственное, то запишите его в ответ. Если таких значений больше одного, то в ответе укажите наименьшее из них. 

Решение 

`+`(`*`(`^`(log[2], 2), `*`(x)), `-`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(a, 2))), `-`(a)), `*`(log[2], `*`(x)))), 1, `-`(`*`(2, `*`(a)))) = 0 

Традиционный подход. Напрашивающаяся замена: `*`(log[2], `*`(x)) = t 

`+`(`*`(`^`(t, 2)), `-`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(a, 2))), `-`(a)), `*`(t))), 1, `-`(`*`(2, `*`(a)))) = 0 

`+`(`*`(`^`(t, 2)), `*`(a, `*`(`+`(1, `-`(`*`(2, `*`(a)))), `*`(t))), 1, `-`(`*`(2, `*`(a)))) = 0 

 

D = `+`(`*`(`^`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(a, 2))), `-`(a)), 2)), `-`(`*`(4, `+`(1, `-`(`*`(2, `*`(a))))))) 

D = `+`(`^`(`*`(a, `*`(`+`(`*`(2, `*`(a)), `-`(1)))), 2), `*`(4, `+`(`*`(2, `*`(a)), `-`(1)))) 

D = `*`(`+`(`*`(2, `*`(a)), `-`(1)), `*`(`+`(`*`(`^`(a, 2), `*`(`+`(`*`(2, `*`(a)), `-`(1)))), 4))) 

D = `*`(`+`(`*`(2, `*`(a)), `-`(1)), `*`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(a, 3))), `-`(`*`(`^`(a, 2))), 4))) 

Тупик! Поступим иначе.  

Пусть 

 

По условию: 

iff(iff(`*`(x[1], `*`(x[2])) = 8 implies `*`(`^`(2, u), `*`(`^`(2, v))) = 8, `^`(2, `+`(u, v)) = `^`(2, 3)), `+`(u, v) = 3) 

 

Применим торему Виета: 

 

Интересуют возможные значения параметра: 

 

В первом случае нет действительных решений исходного уравнения: 

a = -1 ⇒

 

Во втором случае такие решения найдутся: 

a = `/`(3, 2) ⇒

 

Остальное - фактическая проверка, т.к. о значении корней не спрашивается. 

Проверка 

 

`and`(`*`(x[1], `*`(x[2])) = `*`(`^`(2, `*`(`+`(3, sqrt(17)), `/`(1, 2))), `*`(`^`(2, `*`(`+`(3, `-`(sqrt(17))), `/`(1, 2))))), `and`(`*`(`^`(2, `*`(`+`(3, sqrt(17)), `/`(1, 2))), `*`(`^`(2, `*`(`+`(3... 

#@02=5=85

restart; -1; a := `/`(3, 2); -1; solve(`+`(`*`(`^`(t, 2)), `-`(`*`(3, `*`(t))), `-`(2)) = 0, x) exp(`+`(`*`(`/`(3, 2), `*`(ln(2))), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(17, `/`(1, 2)), `*`(ln(2))))))), exp(`+`(`*`(`/`(3, 2), `*`(ln(2))), `*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(17, `/`(1, 2)), `*`(ln(2))))))

Ответ 

1.5 

Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов 

 

0° 

30° 

45° 

60° 

90° 

`*`(sin, `*`(alpha)) 

0 

`/`(1, 2) 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(sqrt(2)))) 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(sqrt(3)))) 

1 

`*`(cos, `*`(alpha)) 

1 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(sqrt(3)))) 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(sqrt(2)))) 

 

0 

`*`(tg, `*`(alpha)) 

0 

`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(sqrt(3)))) 

1 

sqrt(3) 

не существует 

`*`(ctg, `*`(alpha)) 

не существует 

sqrt(3) 

1 

`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(sqrt(3)))) 

0 

Конец тестовой тетради 

Український центр оцінювання якості освіти 

Image

ИНСТРУКЦИЯ ПО РАБОТЕ В ТЕСТОВОЙ ТЕТРАДИ 

Время выполнения - 150 минут

Тест состоит из 32 заданий разных форм.

Ответы на задания Вы должны отметить в бланке А. 

1 Правила выполнения приведены перед каждой новой формой заданий.

2 Отвечайте только после того, как Вы внимательно прочитали и поняли задание.

3 Используйте в качестве черновика места, отведенные в тестовой тетради.

4 Старайтесь выполнить все задания.

5 Вы можете воспользоваться таблицей значений тригонометрических функций некоторых углов, приведенной на последней странице тетради. 

ЧАСТЬ 1 

В каждом задании 1-20 - по пять вариантов ответов, из которых только один правильный. 

Выберите правильный, по Вашему мнению, вариант ответа, отметьте его в бланке А согласно инструкции. 

Не делайте других обозначений в бланке А, потому что компьютерная программа будет регистрировать их как ошибки!

Будьте особенно внимательны, заполняя бланк А!  

Не ухудшайте свой результат неправильной формой записи ответов! 

ЧАСТЬ 2 

В заданиях 21-24 к каждой из четырех строк информации, обозначенных цифрами, выберите один правильный, по Вашему мнению, вариант, отмеченный буквой. 

Поставьте обозначения в таблицах ответов к заданиям в бланке А на пересечении соответствующих строк (цифры) и колонок (буквы). 

Все другие виды Ваших записей в бланке А компьютерная программа будет регистрировать как ошибки! 

Будьте особенно внимательны, заполняя бланк А!  

Не ухудшайте свой результат неправильной формой записи ответов! 

ЧАСТЬ 3 

Решите задания 25 - 32.  

Полученные числовые ответы запишите в тетради и бланке А.

Помните, что ответы в бланке А необходимо записывать только десятичными дробями. 

ИНСТРУКЦIЯ ПО ЗАПОЛНЕНИЮ БЛАНКА ОТВЕТОВ А 

1 В бланк А записывайте только правильные, по Вашему мнению, ответы.

2 Ответы вписывайте аккуратно, согласно требований инструкции к каждой форме заданий.

3 Неправильно отмеченные, подчищенные ответы в бланке А будут засчитываться как ошибки.

4 Если Вы отметили ответ к какому-либо из заданий 1-24 неправильно, то можете его исправить. Для этого зарисуйте предыдущее обозначение и сделайте новое, как показано на примере:
Image

5 Если Вы записали ответ к какому-либо из заданий 25 - 32 неправильно, то можете его исправить, записав новый вариант ответа в специально отведенном месте бланка А.

6 Ваш результат будет зависеть от общего количества правильных ответов, записанных в бланке А. 

Ознакомившись с инструкциями, проверьте качество печати тетради и количество страниц. Их должно быть 16. 

Отметьте номер Вашей тетради в соответствующем месте бланка А так:


Image

Желаем Вам успеха!

© Український центр оцінювання якості освіти, 2012 

 

КАК ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ РЕЗУЛЬТАТЫ ВНЕШНЕГО НЕЗАВИСИМОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ 

Определение результата внешнего независимого оценивания абитуриента осуществляется поэтапно.


На первом этапе, по итогам комплексной обработки бланков ответов типа А, определяется тестовый балл каждого из абитуриентов - арифметическая сумма баллов, полученных абитуриентом за правильное выполнение каждого задания теста по математике.


На втором этапе тестовые баллы, полученные абитуриентами, конвертируются в оценки по шкале 100-200 баллов (числа интервала от 100 до 200 с шагом 0.5) методом еквипроцентильной нормализации, который применяется ко всей совокупности тестовых баллов абитуриентов, которые принимали участие в соответствующей сессии внешнего независимого оценивания по математике.

Оценка по шкале 100-200 баллов является рейтинговою, то есть указывает место результата тестирования абитуриента из результатов других абитуриентов.
Рейтинговый балл определяется отдельно по каждому предмету и каждой сессии внешнего независимого оценивания.

Абитуриенты, которые принимали участие в одной сессии тестирования по математике и набрали одинаковое количество тестовых баллов, получат одинаковую оценку по шкале 100-200 баллов, одновременно абитуриенты с более высокими тестовыми баллами получат и более высокую оценку по этой шкале.

Абитуриент, набравший наибольшее количество тестовых баллов, будет наивысшую оценку - 200 баллов.

Конвертация (шкалирование) тестовых баллов в оценки по шкале 100-200 баллов осуществляется с целью обеспечения сравнимости результатов абитуриентов, которые принимали участие в различных сессиях внешнего независимого оценивания.

 
В день объявления результатов внешнего независимого оценивания 2012 года по математике на официальном сайте Украинского центра оценивания качества образования будут размещены таблицы соответствия количества тестовых баллов оценке по шкале 100-200 баллов.


Каждый участник пробного внешнего независимого оценивания по математике может самостоятельно определить количество тестовых баллов, набранных во время прохождения тестирования, воспользовавшись схемами подсчета тестовых баллов за выполнение заданий различных форм.


1. При выполнении тестового задания с выбором одного правильного ответа (№ 1-20) участник может получить 0 или 1 тестовый балл: 1 балл, если указано правильный ответ, 0 баллов, если указано неправильный ответ, больше одного ответа или ответа не дано.


2. При выполнении тестового задания на установление соответствия (логические пары) (№ 21-24) начисляется 0, 1, 2, 3 или 4 тестовых балла: 1 балл за каждое правильно установленное соответствие (логическую пару); 0 баллов, если не указано ни одного правильного логической пары или ответы на задания не предоставлены.


3. При выполнении тестового задания открытой формные с кратким ответом (№ 25-32) насчитывается 0 или 2 тестовых баллов: 2 балла, если указан правильный ответ; 0 баллов, если указан неправильный ответ или задание вообще не выполнено.


Максимальное количество тестовых баллов, которое может получить участник пробного внешнего независимого оценивания, правильно выполнив все задания теста по математике, - 52. 

Валерий Андреевич